试题

题目：
青果学院（2010·房山区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，∠B=30°，AD=DC，E是AB中点，EF∥AC交BC于点F，且EF=
3
，求梯形ABCD的面积．
答案
青果学院解：过点A作AG⊥BC于点G．
∵E是AB中点，且EF∥AC，
∴EF是△ABC的中位线．
∵EF=
3
，
∴AC=2EF=2
3
．
∵∠B=30°且AC⊥AB，
∴∠ACB=60°，BC=4
3
．
∵AD∥BC，
∴∠CAD=60°．
又AD=DC，
∴△ACD是等边三角形．
∴AD=2
3
．
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=60°，AC=2
3
，
∴AG=3．
∴S梯形ABCD=
1
2
（2
3
+4
3
）·3=9
3
．
青果学院解：过点A作AG⊥BC于点G．
∵E是AB中点，且EF∥AC，
∴EF是△ABC的中位线．
∵EF=
3
，
∴AC=2EF=2
3
．
∵∠B=30°且AC⊥AB，
∴∠ACB=60°，BC=4
3
．
∵AD∥BC，
∴∠CAD=60°．
又AD=DC，
∴△ACD是等边三角形．
∴AD=2
3
．
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=60°，AC=2
3
，
∴AG=3．
∴S梯形ABCD=
1
2
（2
3
+4
3
）·3=9
3
．
考点梳理
梯形；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；三角形中位线定理．
过点A作AG⊥BC于点G．根据平行线等分线段定理发现三角形ABC的中位线EF，从而求得AC的长，再根据30°的直角三角形的性质求得BG、AB的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得其斜边上的高AG；根据等边三角形的判定，发现等边三角形ACD，进一步求得AD的长，从而求得梯形的面积．
此题综合考查了平行线等分线段定理、三角形的中位线定理、30°的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
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