试题

（2010·湖州模拟）（1）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=4S₂，如果AB=2010，那么则CD=．

（2）已知a，b是正整数，且满足2 ( 

15 a

+

15 b

  )也是整数，请写出所有满足条件的有序数对（a，b）．

解：（1）作BE∥AD于E，则四边形ABED是平行四边形．
∴∠BEC=∠ADC，DE=AB=2010．
又∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠EBC=90°．
∵S₁+S₃=4S₂，S₂=

1

2

×

1

2

×2010×2010，
∴BE²+BC²=4（S₁+S₃）=2010×2010×4，
∴CE=4020．
∴CD=6030．

（2）（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．