试题

（2007·上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．
（1）求证：AB=DC；
（2）若tanB=2，AB=

5

，求边BC的长．

（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠E．（1分）
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCA，（1分）
∴∠BCD=2∠E，（1分）
又∵∠B=2∠E，
∴∠B=∠BCD．（1分）
∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．（2分）

（2）解：如图，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则AF∥DG．
在Rt△AFB中，tanB=2，∴AF=2BF．（1分）
又∵AB=

5

，且AB²=AF²+BF²，
∴5=4BF²+BF²，得BF=1．（1分）
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．（1分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．
又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC．∵DC=AB=

5

，∴AD=

5

．（1分）
∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形，∴FG=AD=

5

．（1分）
∴BC=BF+FG+GC=2+

5

．（1分）
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠E．（1分）
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCA，（1分）
∴∠BCD=2∠E，（1分）
又∵∠B=2∠E，
∴∠B=∠BCD．（1分）
∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．（2分）

（2）解：如图，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则AF∥DG．
在Rt△AFB中，tanB=2，∴AF=2BF．（1分）
又∵AB=

5

，且AB²=AF²+BF²，
∴5=4BF²+BF²，得BF=1．（1分）
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．（1分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．
又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC．∵DC=AB=

5

，∴AD=

5

．（1分）
∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形，∴FG=AD=

5

．（1分）
∴BC=BF+FG+GC=2+

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．（1分）