试题

（2008·益阳）两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．

（2）如图，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

（3）如图，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，请你求出sinα的值．

解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=

3

，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=

3

2

；

（2）菱形．
∵在直角三角形ABC中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根据平移的性质得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四边形CDBF是菱形；

（3）过D点作DH⊥AE于H，则S_△ADE=

1

2

·1·

3

=

3

2

，
又S_△ADE=

1

2

AE·DH=

3

2

，
DH=

3

7

=

21

7

，
∴在Rt△DHE′中，sinα=

DH

DE

=

21

14

．
解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=

3

，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=

3

2

；

（2）菱形．
∵在直角三角形ABC中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根据平移的性质得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四边形CDBF是菱形；

（3）过D点作DH⊥AE于H，则S_△ADE=

1

2

·1·

3

=

3

2

，
又S_△ADE=

1

2

AE·DH=

3

2

，
DH=

3

7

=

21

7

，
∴在Rt△DHE′中，sinα=

DH

DE

=

21

14

．