试题

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=

1

2

CD，∠ADC+∠BCD=90°，分别以DA、AB、BC为边向形外作正方形，面积分别为S₁、S₂、S₃．
试证明：S₂=S₁+S₃．

证明：过点A作AE∥BC交CD于点E，
∵AB∥DC，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，
∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，
∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，
∴∠DAE=90°，那么在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∵S₁=AD²，S₂=AB²=DE²，S₃=BC²=AE²，
∴S₂=S₁+S₃．
证明：过点A作AE∥BC交CD于点E，
∵AB∥DC，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，
∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，
∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，
∴∠DAE=90°，那么在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∵S₁=AD²，S₂=AB²=DE²，S₃=BC²=AE²，
∴S₂=S₁+S₃．