试题
题目:
如图,单位正方形ABCD被EF、GH分成相等的矩形.试问:是否存在另外的分法,既能将单位正方形分成面积相等的三个多边形,又能使三个多边形的公共边界小于EF与GH的和.
答案
解:如图,
设正方形ABCD的边长为1,
由于分成三面积相等,可以计算得出EF+GH=1+
2
3
=
5
3
,
存在,
假如能作出符合条件的图形如图(2),
设GH∥AD,延长HG交AB于N,过E作EQ⊥NH于Q,GH=x,
由梯形的面积公式得:
1
2
(x+DE)·
1
2
=
1
3
,
即:DE=
4
3
-x,
∴AE=1-(
4
3
-x)=-
1
3
+x,
QG=1-(-
1
3
+x)-x=
4
3
-2x,
又∵EQ=
1
2
,
在△EQG中由勾股定理得:EG=
(
4
3
-2x
)
2
+(
1
2
)
2
,
同理:FG=
(
4
3
-2x
)
2
+(
1
2
)
2
,
GH+EG+GF=x+2
(
4
3
-2x
)
2
+(
1
2
)
2
<
5
3
,
解得:0<x<
22
45
,
只要符合上面条件的GH的值都能画出,
故答案为:存在.
解:如图,
设正方形ABCD的边长为1,
由于分成三面积相等,可以计算得出EF+GH=1+
2
3
=
5
3
,
存在,
假如能作出符合条件的图形如图(2),
设GH∥AD,延长HG交AB于N,过E作EQ⊥NH于Q,GH=x,
由梯形的面积公式得:
1
2
(x+DE)·
1
2
=
1
3
,
即:DE=
4
3
-x,
∴AE=1-(
4
3
-x)=-
1
3
+x,
QG=1-(-
1
3
+x)-x=
4
3
-2x,
又∵EQ=
1
2
,
在△EQG中由勾股定理得:EG=
(
4
3
-2x
)
2
+(
1
2
)
2
,
同理:FG=
(
4
3
-2x
)
2
+(
1
2
)
2
,
GH+EG+GF=x+2
(
4
3
-2x
)
2
+(
1
2
)
2
<
5
3
,
解得:0<x<
22
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,
只要符合上面条件的GH的值都能画出,
故答案为:存在.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
正方形的性质;勾股定理;矩形的性质;梯形.
首先设出正方形ABCD的边长为1,计算出EF+GH的值为
5
3
,再进一步利用三部分面积相等求出三部分的面积为
2
3
,设GH∥AD且GH=x,根据勾股定理求出EG 和FG的长度,根据GH+EG+GF<
5
3
求出x的范围即可进行判断.
此题主要利用正方形的性质,梯形的面积公式,勾股定理等知识,能正确利用知识进行计算是解此题的关键.
计算题.
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