试题

在梯形ABCD中，DC∥AB，BD=AD，AC=AB，∠ADB=90°，求证：
（1）∠CAB=30°；
（2）若BD和AC交于E，则BE=BC．

证明：（1）过D作DF⊥AB交AB于点F，过C作CG⊥AB交AB于点G，
∴DF∥CG，
∵DC∥AB，
∴DF=CG；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴DF是边AB的中垂线，
∴DF=

1

2

AB，
∴CG=

1

2

AB；
在△ABC中，AC=AB，
∴CG=

1

2

AC，
∴∠CAB=30°；

（2）在△ABC中，∠CAB=30°，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=

1

2

×（180-30）=75°；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CEB=45°+30°=75°，
∴∠ACB=∠BEC，
∴BE=BC．
证明：（1）过D作DF⊥AB交AB于点F，过C作CG⊥AB交AB于点G，
∴DF∥CG，
∵DC∥AB，
∴DF=CG；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴DF是边AB的中垂线，
∴DF=

1

2

AB，
∴CG=

1

2

AB；
在△ABC中，AC=AB，
∴CG=

1

2

AC，
∴∠CAB=30°；

（2）在△ABC中，∠CAB=30°，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=

1

2

×（180-30）=75°；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CEB=45°+30°=75°，
∴∠ACB=∠BEC，
∴BE=BC．