试题

如图是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，且A、B之间有一条50米的直线通道．甲、乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度v₁沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度v₂沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处．假设两人跑步时间足够长．求：
（1）如果v₁：v₂=3：2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？
（2）如果v₁：v₂=5：6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？

解：（1）设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v₁=3m，v₂=2m，
由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是

400n

3m

（2分）
是

400n

3m

·2m=

800

3

n（3分）
因为乙跑回到A点处，所以

800

3

n应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，（4分）
所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇（5分）

（2）设乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v₁=5m，v₂=6m，由题意可得

400q+200

5m

=

250p+200

6m

，即

8q+4

5

=

5p+4

6

，（7分）
所以48q+24=25p+20，即48q+4=25p（p，q均为正整数）．
所以p，q的最小值为q=2，p=4，（8分）
此时，乙跑过的路程为250×4+200=1200（米）．（9分）
所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇．（10分）
解：（1）设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v₁=3m，v₂=2m，
由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是

400n

3m

（2分）
是

400n

3m

·2m=

800

3

n（3分）
因为乙跑回到A点处，所以

800

3

n应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，（4分）
所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇（5分）

（2）设乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v₁=5m，v₂=6m，由题意可得

400q+200

5m

=

250p+200

6m

，即

8q+4

5

=

5p+4

6

，（7分）
所以48q+24=25p+20，即48q+4=25p（p，q均为正整数）．
所以p，q的最小值为q=2，p=4，（8分）
此时，乙跑过的路程为250×4+200=1200（米）．（9分）
所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇．（10分）