试题

已知：如图，△ABC中，∠A的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F．求证：AB-AC=2CF．

证明：连接CD，DB，作DM⊥AB于一点M，
∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM（角平分线上的点到角的两边距离相等）
∵AD=AD，
∠AFD=∠AMD=90°，
∴△AFD≌△AMD，
∴AF=AM，
∵DE垂直平分线BC，
∴CD=BD（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∵FD=DM，∠AFD=∠DMB=90°，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AC+2CF，
∴AB-AC=2CF．
证明：连接CD，DB，作DM⊥AB于一点M，
∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM（角平分线上的点到角的两边距离相等）
∵AD=AD，
∠AFD=∠AMD=90°，
∴△AFD≌△AMD，
∴AF=AM，
∵DE垂直平分线BC，
∴CD=BD（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∵FD=DM，∠AFD=∠DMB=90°，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AC+2CF，
∴AB-AC=2CF．