试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．
（1）用尺规作图，作出∠BAC的角平分线AP，交BC于F点；（要保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）求证：点F在AB的垂直平分线上．
答案
青果学院解：（1）如图所示：AP就是所求作的角平分线．

（2）证明：∵∠C=90°，∠B=30°
∴∠CAB=180°-90°-30°=60°，
由作图可知，AP是∠CAB的平分线，
∴∠BAF=∠CAF=30°，
∴∠BAF=∠B，
∴AF=BF，
∴点F在AB的垂直平分线上．
青果学院解：（1）如图所示：AP就是所求作的角平分线．

（2）证明：∵∠C=90°，∠B=30°
∴∠CAB=180°-90°-30°=60°，
由作图可知，AP是∠CAB的平分线，
∴∠BAF=∠CAF=30°，
∴∠BAF=∠B，
∴AF=BF，
∴点F在AB的垂直平分线上．
考点梳理
作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．
（1）根据角平分线的作法得出即可；
（2）利用角平分线的性质得出∠BAF=∠CAF=30°，再得出∠BAF=∠B，进而得出AF=BF，即可得出点F在AB的垂直平分线上．
此题主要考查了角平分线的作法以及垂直平分线的性质，根据已知得出∠BAF=∠B是解决问题的关键．
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