试题

在学习中，小明发现：①3²-1²=9-1=8=1×8；②5²-1²=25-1=24=3×8；③11²-1²=121-1=120=15×8；④17²-1²=289-1=288=36×8------
于是小明猜想：当n为任意正奇数时，n²-1的值一定是8的倍数，你认为小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．

解：小明的猜想正确，
理由：因为n为奇数，所以可设n=2k+1（k为自然数），
所以n²-1=（2k+1）²-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1），
因为k为自然数，
所以k，k+1是相邻的自然数，
所以k，k+1中必有一个是偶数，一个是奇数，所以k（k+1）必定是2的倍数，
所以4k（k+1）必定是8的倍数，
故当n为任意正奇数时，
n²-1 的值一定是8的倍数．
解：小明的猜想正确，
理由：因为n为奇数，所以可设n=2k+1（k为自然数），
所以n²-1=（2k+1）²-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1），
因为k为自然数，
所以k，k+1是相邻的自然数，
所以k，k+1中必有一个是偶数，一个是奇数，所以k（k+1）必定是2的倍数，
所以4k（k+1）必定是8的倍数，
故当n为任意正奇数时，
n²-1 的值一定是8的倍数．