已知，a，b，c是△ABC的三边，求证：（a2+b2-c2）2-4a2b2＜0．-青果题库-青果学院

题目：

已知，a，b，c是△ABC的三边，求证：（a²+b²-c²）²-4a²b²＜0．

答案

证明：∵（a²+b²-c²）²-4a²b²
=（a²+b²-c²）²-（2ab）²
=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）
=[（a²+2ab+b²）-c²][（a²-2ab+b²）-c²]
=[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c），
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴（a²+b²-c²）²-4a²b²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0．
证明：∵（a²+b²-c²）²-4a²b²
=（a²+b²-c²）²-（2ab）²
=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）
=[（a²+2ab+b²）-c²][（a²-2ab+b²）-c²]
=[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c），
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴（a²+b²-c²）²-4a²b²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0．

考点梳理

因式分解的应用；三角形三边关系．

试题