试题

求出所有有理数x、y、z，使得5x²+2y²+2z²+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0

解：5x²+2y²+2z²+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0·（x²+2y²+2xy）+（y²+z²+2yz）+（4x²+z²-4xz）-6z-4z+6=0·（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²-6y-4z+6=0
设上式可分转化成x、y、z一次方因式平方和的形式，即（x+y+a）²+（y+z+b）²+（2x-z+c）²=0·（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²+（2a+4c）x+（2a+2b）y+（2b-2c）6z+a²+b²+c²=0
（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²-6y-4z+6=0与（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²+（2a+4c）x+（2a+2b）y+（2b-2c）z+a²+b²+c²=0
比较可得

2a+4c=0 2a+2b=-6 2b-2c=-4 a2+b2+c2=6

解得a=-2，b=-1，c=1
∴5x²+2y²+2z²+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=（x+y-2）²+（y+z-1）²+（2x-z+1）²=0
∴

x+y-2=0 y+z-1=0 2x-z+1=0

解得x=0，y=2，z=1
解：5x²+2y²+2z²+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0·（x²+2y²+2xy）+（y²+z²+2yz）+（4x²+z²-4xz）-6z-4z+6=0·（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²-6y-4z+6=0
设上式可分转化成x、y、z一次方因式平方和的形式，即（x+y+a）²+（y+z+b）²+（2x-z+c）²=0·（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²+（2a+4c）x+（2a+2b）y+（2b-2c）6z+a²+b²+c²=0
（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²-6y-4z+6=0与（x+y）²+（y+z）²+（2x-z）²+（2a+4c）x+（2a+2b）y+（2b-2c）z+a²+b²+c²=0
比较可得

2a+4c=0 2a+2b=-6 2b-2c=-4 a2+b2+c2=6

解得a=-2，b=-1，c=1
∴5x²+2y²+2z²+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=（x+y-2）²+（y+z-1）²+（2x-z+1）²=0
∴

x+y-2=0 y+z-1=0 2x-z+1=0

解得x=0，y=2，z=1