试题

题目：
已知x2=x+1，y2=y+1，且x≠y．
（1）求证：x+y=1；（2）求x5+y5的值．
答案
（1）证明：∵x2=x+1，y2=y+1，
∴x2-y2=x-y
∴x+y=1（x≠y）
（2）解：∵x2=x+1，y2=y+1，∴x3=x2+x，y3=y2+y，x4=x3+x2，y4=y3+y2，x5=x4+x3，y5=y4+y3，
∴x5+y5
=x4+x3+y4+y3
=x3+x2+x2+x+y3+y2+y2+y，
=x2+x+x2+x2+x+y2+y+y2+y2+y，
=3（x2+y2）+2（x+y），
=3（x+1+y+1）+2（x+y），
=3×3+2，
=11．
（1）证明：∵x2=x+1，y2=y+1，
∴x2-y2=x-y
∴x+y=1（x≠y）
（2）解：∵x2=x+1，y2=y+1，∴x3=x2+x，y3=y2+y，x4=x3+x2，y4=y3+y2，x5=x4+x3，y5=y4+y3，
∴x5+y5
=x4+x3+y4+y3
=x3+x2+x2+x+y3+y2+y2+y，
=x2+x+x2+x2+x+y2+y+y2+y2+y，
=3（x2+y2）+2（x+y），
=3（x+1+y+1）+2（x+y），
=3×3+2，
=11．
考点梳理
因式分解的应用．
（1）将x2=x+1，y2=y+1，相减可直接得出x+y=1；
（2）由x2=x+1，y2=y+1，得出x3=x2+x，y3=y2+y，同理得出x5=x4+x3，y5=y4+y3，再利用x2=x+1，y2=y+1，两式之和求出即可．
此题主要考查了因式分解的应用，将两已知条件进行加减运算得出变形后的关系是解决问题的关键．
计算题；证明题．
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