试题

题目：
求系数a、b、c间的关系式，使方程
ax2+bx+c=0
bx2+cx+a=0
cx2+ax+b=0
有实数解．
答案
解：
ax2+bx+c=0  ①
bx2+cx+a=0  ②
cx2+ax+b=0  ③
，
①+②+③得：
（a+b+c）x2+（a+b+c）x+（a+b+c）=0，
（a+b+c）（x2+x+d）=0，
∵x2+x+d=（x+
d
2
）2+
3
d
≠0，
∴a+b+c=0，
∴x=d为方程组的解，
∴a、b、c间的关系式是a+b+c=0时，方程组有实数解，其解为x=d．
解：
ax2+bx+c=0  ①
bx2+cx+a=0  ②
cx2+ax+b=0  ③
，
①+②+③得：
（a+b+c）x2+（a+b+c）x+（a+b+c）=0，
（a+b+c）（x2+x+d）=0，
∵x2+x+d=（x+
d
2
）2+
3
d
≠0，
∴a+b+c=0，
∴x=d为方程组的解，
∴a、b、c间的关系式是a+b+c=0时，方程组有实数解，其解为x=d．
考点梳理
因式分解的应用．
先把①+②+③得出（a+b+c）（x2+x+1）=0，再根据x2+x+1=（x+
1
2
）2+
3
4
≠0，得出a+b+c=0，即可得出答案．
此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是因式分解，配方法，关键是通过因式分解和配方求出a+b+c=0．
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