试题

设x＞0，试比较代数式x³和x²+x+2的值的大小．

解：设x=0，
则x³＜x²+x+2．①
设x=10，则有x³=1000，x²+x+2=112，
所以x³＞x²+x+2．②
设x=100，则有x³＞x²+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x³＜x²+x+2；当x值较大时，x³＞x²+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x³=x²+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．
为此，设x³=x²+x+2，则
x³-x²-x-2=0，
（x³-x²-2x）+（x-2）=0，
（x-2）（x²+x+1）=0．
因为x＞0，所以x²+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
（1）当x=2时，x³=x²+x+2；
（2）当0＜x＜2时，因为
x-2＜0，x²+x+1＞0，
所以（x-2）（x²+x+1）＜0，
即x³-（x²+x+2）＜0，
所以x³＜x²+x+2．
（3）当x＞2时，因为
x-2＞0，x²+x+1＞0，
所以（x-2）（x²+x+1）＞0，
即x³-（x²+x+2）＞0，
所以x³＞x²+x+2．
综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．
解：设x=0，
则x³＜x²+x+2．①
设x=10，则有x³=1000，x²+x+2=112，
所以x³＞x²+x+2．②
设x=100，则有x³＞x²+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x³＜x²+x+2；当x值较大时，x³＞x²+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x³=x²+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．
为此，设x³=x²+x+2，则
x³-x²-x-2=0，
（x³-x²-2x）+（x-2）=0，
（x-2）（x²+x+1）=0．
因为x＞0，所以x²+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
（1）当x=2时，x³=x²+x+2；
（2）当0＜x＜2时，因为
x-2＜0，x²+x+1＞0，
所以（x-2）（x²+x+1）＜0，
即x³-（x²+x+2）＜0，
所以x³＜x²+x+2．
（3）当x＞2时，因为
x-2＞0，x²+x+1＞0，
所以（x-2）（x²+x+1）＞0，
即x³-（x²+x+2）＞0，
所以x³＞x²+x+2．
综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．