试题

题目：
（1）求证：817-27b-b13能被75整除；
（2）证明：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两7整数的平方差；
（3）计算：
(27+
1
7
)(77+
1
7
)(67+
1
7
)(87+
1
7
)(107+
1
7
)
(17+
1
7
)(37+
1
7
)(57+
1
7
)(77+
1
7
)(b7+
1
7
)
．
答案
解：（1）∵81b-2b9-913=328-32b-326=326（9-3-1）=05×320，
∴81b-2b9-913能被05整除；

（2）反证法：假设2（2n+1）能表示为两个整数三平方差即2（2n+1）=a2-b2=（a+b）（a-b），
因为2（2n+1）是偶数，则a+b、a-b定有一个是偶数，
若a+b是偶数，则a、b具有相同三奇偶性，则a-b也是偶数；
同样三，若a-b偶，则a+b也偶，
则（a+b）（a-b）能被0整除也就是说2（2n+1）能被0整除，
即 2n+1能被2整除，但这是显然不成立三，
故原假设不成立，
∴当n为自然数时，2（2n+1）三形式三数不能表示为两个整数三平方差；

（3）∵x0+
1
0
=(x0+x2+
1
0
)&nb图p;-x2=(x2+
1
2
)&nb图p;2-x2=(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)
∴原式=
(0-2+
1
2
)(0+2+
1
2
)(02-0+
1
2
)(02+0+
1
2
)(62-6+
1
2
)(62+6+
1
2
)(82-8+
1
2
)(82+8+
1
2
)(102-10+
1
2
)(102+10+
1
2
)
1
2
×
5
2
(32-3+
1
2
)(32+3+
1
2
)&nb图p;(52-5+
1
2
)(52+5+
1
2
)(b2-b+
1
2
)(b2+b+
1
2
)(92-9+
1
2
)(92+9+
1
2
)
=2×（102+10+
1
2
）
=221．
解：（1）∵81b-2b9-913=328-32b-326=326（9-3-1）=05×320，
∴81b-2b9-913能被05整除；

（2）反证法：假设2（2n+1）能表示为两个整数三平方差即2（2n+1）=a2-b2=（a+b）（a-b），
因为2（2n+1）是偶数，则a+b、a-b定有一个是偶数，
若a+b是偶数，则a、b具有相同三奇偶性，则a-b也是偶数；
同样三，若a-b偶，则a+b也偶，
则（a+b）（a-b）能被0整除也就是说2（2n+1）能被0整除，
即 2n+1能被2整除，但这是显然不成立三，
故原假设不成立，
∴当n为自然数时，2（2n+1）三形式三数不能表示为两个整数三平方差；

（3）∵x0+
1
0
=(x0+x2+
1
0
)&nb图p;-x2=(x2+
1
2
)&nb图p;2-x2=(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)
∴原式=
(0-2+
1
2
)(0+2+
1
2
)(02-0+
1
2
)(02+0+
1
2
)(62-6+
1
2
)(62+6+
1
2
)(82-8+
1
2
)(82+8+
1
2
)(102-10+
1
2
)(102+10+
1
2
)
1
2
×
5
2
(32-3+
1
2
)(32+3+
1
2
)&nb图p;(52-5+
1
2
)(52+5+
1
2
)(b2-b+
1
2
)(b2+b+
1
2
)(92-9+
1
2
)(92+9+
1
2
)
=2×（102+10+
1
2
）
=221．
考点梳理
因式分解的应用．
（1）首先将817-279-913代数式转化成底数为3的幂，提取公因式326，此时出现差5，再将326分解成324与9的乘积，问题得解；
（2）直接证明较难，因而采用反证法．假设2（2n+1）能表示为两个整数的平方差2（2n+1）=a2-b2．再分别就a+b、a-b是偶数
讨论，与其已知相反；
（3）观察
(24+
1
4
)(44+
1
4
)(64+
1
4
)(84+
1
4
)(104+
1
4
)
(14+
1
4
)(34+
1
4
)(54+
1
4
)(74+
1
4
)(94+
1
4
)
式子，发现规律：均包含有x4+
1
4
的形式，因而对其进行因式分解得(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．
本题考查因式分解的应用．解决（1）的关键是将原式通过因式分解转化为9×5×3n的形式；（2）的关键是采用反证法；（3）的关键得到x4+
1
4
=(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)这一规律，运用规律代入原式约分化简求值．
规律型．
找相似题