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如图所示的图案可以看作是一个正方形连续三次平移形成的，也可以看作是一个正方形绕整个图案的中心，顺时针三次旋转形成的，那么它每次的旋转角分别为90°90°、180°180°、270°270°． -
如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．试说明△ABP经过怎样变换可得到△CBQ．
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设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：
≤L＜2．3 -
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（-4，0），点B在第二象限，点
P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）连接DP，猜想△APD的形状，并加以说明；
（2）当点P运动到点(0，
)时，求此时DP的长；3
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于
？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3 4 -
已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．
求：∠APB的度数．（初二） -
已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论BM-DN=MNBM-DN=MN；（不用证明）
（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．
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如图，在△ABC中∠BAC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D恰好落在BC上，连接CE．
（1）填空：∠BAE+∠DAC=180180°；
（2）线段BC与CE在位置上有何关系？并说明理由． -
如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形．
Ⅰ．若点C在ED的延长线上，点A在边GD上，求证：CG⊥AE；
Ⅱ．以Ⅰ的图形为基础，若以D为旋转中心，将正方形ABCD按逆时针旋转一定角度，得到下面的图形，认真观察这个图形，猜想AE与CG有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？并证明你的猜想．
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如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
（3）如图③，在旋转过程中，设 AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）
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如图1，已知正方形OABC的边长为4，等腰直角三角板OEF的直角边OE、OF分别在OA、OC上，且OE=2．将三角板OEF绕点O逆时针旋转至OE1F1的位置，旋转角为α，连接CF1、AE1．
（1）请在图2中画出三夹板OEF逆时针旋转90°时的图形，并直接判断此时△OAE1与△OCF1是否全等．
（2）当0°＜α＜90°时，∠OAE1与∠OCF1是否总有上述关系并加以证明；
（3）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE1∥CF1？若存在，请求出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．