- 已知∠AOB内有一点P，试在OA、OB上求点M、N，使△PMN的周长最短．（要求尺规作图，写出作法步骤证明）
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如图所示，A，B两村在河的同一侧，以河岸为x轴建立直角坐标系，则A，B两村对应的坐标分别为A（-1，1），B（3，3），现要在河边P处修建一个水泵站，分别直接向A，B两村送水，点P选在哪个位置，才可能使所用的水管最短？试写出点P对应的坐标．
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如图，直线l1∥l2，A、B为两定点，M、N分别在直线l1、l2上，且MN⊥l2，请确定M、N的位置，使AM+MN+BN最小．
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如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．
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如图，A，B两村在一条河流CD的同侧，A，B两村与该河的距离分别为100米、700米，且C，D之间的距离为600米．现要在河边建一自来水厂，铺设水管的工程费用为每米200元，请你在河边CD上选择水厂位置P，使铺设水管
的费用最省，并求出铺设水管的总费用是多少元？
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已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP=∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系． -
几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，
由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是5 ；5
（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程）
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如图，直线l是一条河，A、B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A、B两地供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点（不写作法，不要求证明，保留作图痕迹）
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如图，在街道上修个牛奶站，使牛奶站到A，B的距离最短．
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阅读材料：
在直角坐标系中，已知平面内A（x1，y2）、B（x1，y2）两点坐标，则A、B两点之间的距离等于
．(x2-x2)2(y2-y1)2
例：说明代数式
+x2+1
的几何意义，并求它的最小值．(x-3)2+4
解：
+x2+1
=(x-3)2+4
+(x-0)2+(0-1)2
，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则(x-3)2+(0-2)2
可以看成点P与点A（0，1）的距离，(x-0)2+(0-1)2
可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．(x-3)2+(0-2)2
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=33，CB=33，所以A′B=32 3，即原式的最小值为2 32 3．2
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）完成上述填空．
（2）代数式
+(x-i)2+1
的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B(x-2)2+9 （2，3）（2，3）的距离之和．（填写点B的坐标）
（3）求代数式
+x2+49
的最小值．（画图计算）x2-12x+37