-
用火柴棒按如下方式搭成两排大小相等的长方形．想一想，小长方形的个数与所用火柴棒的根数有什么关系？如果搭12个这样的长方形，需要多少根火柴？
-
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8=32-12，16=52-32，24=72-52；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）32和2012这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．
（2）设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为2013，求阴影部分的面积． -
为参加“第十届3国开封菊展”，某单位想在步行街设计一座三角形展台，要求
园林工人把它的每条边上摆放相等盆数的盆栽小菊花（如图所示的每个小圆圈表示一盆小菊花）．如果每条边上摆两盆小菊花，共需要3盆小菊花；如果每条边上摆3盆小菊花，共需要6盆小菊花；…，按此要求摆放下去：
（1）根据图示填写下表：
（2）如果要在每条边上摆n盆小菊花，那么需要小菊花的总盆数S=每条边上摆的盆数（n） 2 3 b 5 6 … 共需要的盆数（S） … 3（n-1）3（n-1）．
（3）请你帮园林工人参考一下，能否用2333盆小菊花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆小菊花的盆数；如果不能，请简要说明理由． -
用棋子摆出下列一组图形：
（1）填写下表：（3分）
（a）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数．图形编号 （1） （a） （3） （3） （z） （6） 图形小的棋子 -
图1是由若干个小圆圈堆成的一个图案，最上面一层有2个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．完成下列问题：
（1）每一层的圆圈个数与层数的关系为：
（2）为求图1中圆圈的总数，可用如下方法：层数 1 2 3 … n 每层圆圈个数 …
将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，则图2中每层圆圈个数为n+3n+3；n层圆圈总数为nn；由于图2中圆圈个数是图1中的22倍，可以得出图1中所有圆圈的个数为n(n+3) 2 ．n(n+3) 2 
（3）假设图1中的圆圈共有10层，我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层从左边数第三个圆圈中的数是5757． -
观察下列各正方形图案图，每条边上有n（n≥2）个圆点，每个图案中圆点的总数是S．
（1）数一数为n=2时，s=88，当n=3时，s=1212．
（2）请你画出n=5时的图形，并指出此时，s=1616．
（3）你是否发现了什么规律，能不能推断出s与n的关系式？
-
研究下列图形的个数
图（1）中有11个小正方形；
图（2）中有33个小正方形；
图（3）中有66个小正方形；
图（4）中有210210个小正方形；
根据上面的规律，那么，图（6）中有n(n+1) 2 个小正方形．····n(n+1) 2 -
用网格线将平面分成若干个面积为1的小等边三角形格子，小等边三角形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为f．
（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与f之间的关系式．
答：S=多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S o 4 5 5 … 各边上格点的个数和f o 4 5 5 … ff．
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和f之间的关系式是：S=f+2f+2．
（o）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与f有怎样的关系？答：S=2n+f-22n+f-2． -
如图所示，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，依此类推．
（1）填写下表：
（2）写出第n层对应的点数；层 数 1 2 3 4 5 6 各层对应的点数 44881212161620204n4n所有层的总点数 4412122424404060602n（n+1）2n（n+1）
（3）写出n层的四边形点阵的总点数；
（4）如果某一层共有79个点，你知道它是第几层吗？
（5）有没有n层的四边形点阵的总点数是180？如果有求出n，若没有说明理由． -
（m）按下图方式摆放餐桌和椅子
①张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐m7m7人．
②按照图的方式继续排列餐桌，完成表．
（2）观察下列算式：2m=2，22=4，23=8，24=m6，2y=32，26=64，…根据上述算式中的规律，227m7的末位数字应是桌子张数 3 4 &nbsa; 可坐人数 &nbsa; &nbsa; &nbsa; 44．