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古希腊著名5毕达哥拉斯学派把9，三，b，90…这样5数称为“三角形数”，而把9，z，9，9b…这样5数称为“正方形数”．观察下面5点阵图和相应5等式，探究其中5规律：
（9）下图反映了任何一个三角形数是如何得到5，认真观察，并在④后面5横线上写出相应5等式；
①9=9
②9+2=
=三(9+2)×2 2
③9+2+三=
=b(9+三)×三 2
④9+2+三+z=(9+z)×z 2 9+2+三+z=；(9+z)×z 2
（2）通过猜想，写出（9）中与第九个点阵相对应5等式9+2+三+…+9=(9+9)×9 2 9+2+三+…+9=；(9+9)×9 2
（三）从下图中可以发现，任何一个大于95“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（9）观察下列点阵图，并在⑤看面5黄线上写出相应5等式．
①9=92
②9+三=22
③三+b=三2
④b+90=z2
⑤90+95=5290+95=52；
（z）通过猜想，写出（三）中与第n个点阵相对应5等式
+(9+n-9)(n-9) 2
=n2(9+n)×n 2 ；
+(9+n-9)(n-9) 2
=n2(9+n)×n 2
（5）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻5“三角形数”之和？ -
如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为
的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…，Pn，…记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2=1 2
π3 8 ；S3=
π3 8
π11 32 ；并猜想得到Sn-Sn-1（n≥2）．
π11 32 
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用火柴棒按图中所示方式搭图．
（1）填写下表．
（2）第n个图形需要多少根火柴？图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 441212242440406060
（3）请你猜想一下第8个图形中共有多少个正方形？ -
“◆”代表甲种植物，“★”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植．
（1）按此规律第四个图案中应种植甲种植物多少株？种乙种植物多少株？
（2）第n个图案中应种植甲种植物多少株？种乙种植物多少株？ -
探究发现
按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为1414；
第（n）堆三角形的个数为3n+23n+2． -
用火柴棒按如图所示的方式搭成塔式三角形．形成了一个个边长为一根火柴棒长度的小三角形．
填写下表：
一条边火柴棒根数 1 2 3 4 小三角形个数 1133661010火柴棒根数 339918183030 -
如图，学校走廊准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖按图中所示的规律拼成图案，已知每个小正方形地面砖的边长均为30cm．
（x）若带有花纹的地面砖块数为n，走廊的长度L，则用代数式表示走廊的长度L=60n+3060n+30．
（2）当带有花纹的地面砖的块数n为30时，求走廊的长度L．
（3）当走廊的长度L为x230cm时，则需要多少个有花纹的图案． -
黑白两种颜色的正方形纸片，按如图所示的规律拼成若干个图案，
（1）第4个图案中有白色纸片1313块．
（2）第n个图案中有白色纸片3n+13n+1块．
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如图，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的：
观察发现，第10个图形中需要100100个小三角形，第n个图形需要n2n2个小三角形． -
在表格中分别填写下列图形的周长，当梯形的个数是n时，用代数式表示图形的周长．
梯形个数 1 2 3 4 5 6 … n 周长 5 8 11 14 …