试题

（1）化简，求值：(

a-2

a2+2a

-

a-1

a2+4a+4

)÷

a-4

a+2

，其中a满足a²+2a-1=0；
（2）设a+b+c=0，求

a2

2a2+bc

+

b2

2b2+ac

+

c2

2c2+ab

的值．

解：（1）原式=

a2-4-a2+a

a(a+2)2

·

a+2

a-4

=

1

a2+2a

；
∵a²+2a-1=0，
∴a²+2a=1，
∴原式=

1

1

=1；
（2）由已知可得a+b=-c，c=-a-b，
则2a²+bc=2a²+b（-a-b）=（a-b）（a+a+b）=（a-b）（a-c），
同理 2b²+ac=（b-c）（b-a），2c²+ab=（c-a）（c-b），
∴原式=

a2

(a-b)(a-c)

+

b2

(b-c)(b-a)

+

c2

(c-a)(c-b)

=

a2(b-c)-b2(a-c)+c2(a-b)

(a-b)(a-c)(b-c)

，
∵b=-a-c，
∴a²（b-c）-b²（a-c）+c²（a-b）
=a²（-a-2c）-（a+c）²（a-c）+c²（a+a+c）
=-a³-2a²c-a³-a²c+ac²+c³+2ac²+c³
=-2a³-3a²c+3ac²+2c³
=2（c³-a³）+3ac（c-a）
=（c-a）（2c²+5ac+2a²）
=（c-a）（2c+a）（c+2a）
=（c-a）（2c-b-c）（-a-b+2a）
=（a-b）（b-c）（a-c）
∴原式=

a2

(a-b)(a-c)

+

b2

(b-c)(b-a)

+

c2

(c-a)(c-b)

=

(a-b)(b-c)(c-a)

(a-b)(b-c)(c-a)

=1．
解：（1）原式=

a2-4-a2+a

a(a+2)2

·

a+2

a-4

=

1

a2+2a

；
∵a²+2a-1=0，
∴a²+2a=1，
∴原式=

1

1

=1；
（2）由已知可得a+b=-c，c=-a-b，
则2a²+bc=2a²+b（-a-b）=（a-b）（a+a+b）=（a-b）（a-c），
同理 2b²+ac=（b-c）（b-a），2c²+ab=（c-a）（c-b），
∴原式=

a2

(a-b)(a-c)

+

b2

(b-c)(b-a)

+

c2

(c-a)(c-b)

=

a2(b-c)-b2(a-c)+c2(a-b)

(a-b)(a-c)(b-c)

，
∵b=-a-c，
∴a²（b-c）-b²（a-c）+c²（a-b）
=a²（-a-2c）-（a+c）²（a-c）+c²（a+a+c）
=-a³-2a²c-a³-a²c+ac²+c³+2ac²+c³
=-2a³-3a²c+3ac²+2c³
=2（c³-a³）+3ac（c-a）
=（c-a）（2c²+5ac+2a²）
=（c-a）（2c+a）（c+2a）
=（c-a）（2c-b-c）（-a-b+2a）
=（a-b）（b-c）（a-c）
∴原式=

a2

(a-b)(a-c)

+

b2

(b-c)(b-a)

+

c2

(c-a)(c-b)

=

(a-b)(b-c)(c-a)

(a-b)(b-c)(c-a)

=1．