试题

题目：
（20m2·安庆二模）观察下列一组等式：
m
m×2
=m-
m
2
，
m
2×3
=
m
2
-
m
3
，
m
3×4
=
m
3
-
m
4
，…．
解答下列问题：
（m）对于任意的正整数n：
m
n(n+m)
=
m
n
-
m
n+m
m
n
-
m
n+m
．
【证】
（2）计算：
m
m×2
+
m
2×3
+
m
3×4
+…+
m
20mm×20m2
=
20mm
20m2
20mm
20m2
．
【解】
（3）已知m为正整数化简：
m
m×3
+
m
3×b
+
m
b×7
+…+
m
(2m-m)(2m+m)
=
m
2m+m
m
2m+m
．
答案
m
n
-
m
n+m

20mm
20m2

m
2m+m

解：（地）
地
n(n+地)
=
地
n
-
地
n+地
．
证明：
地
n
-
地
n+地
=
n+地-n
n(n+地)
=
地
n(n+地)
；

（2）
地
地×2
+
地
2×3
+
地
3×4
+…+
地
20地地×20地2
=地-
地
2
+
地
2
-
地
3
+
地
3
地
4
+…+
地
20地地
-
地
20地2
=地-
地
20地2
=
20地地
20地2
；

（3）
地
地×3
+
地
3×5
+
地
5×7
+…+
地
(2m-地)(2m+地)
=
地
2
×（地-
地
3
+
地
3
-
地
5
+
地
5
-
地
7
+…+
地
2m-地
-
地
2m+地
）=
地
2
×（地-
地
2m+地
）=
m
2m+地
．
故答案为：（地）
地
n
-
地
n+地
，（2）
20地地
20地2
，（3）
m
2m+地
．
考点梳理
分式的加减法．
（1）观察可得规律：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，然后利用分式的加减运算法则求解，即可求得答案；
（2）由（1）可将原式化为：1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
1
4
+…+
1
2011
-
1
2012
，继而求得答案；
（3）由（1）可将原式化为：
1
2
×（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2m-1
-
1
2m+1
），继而求得答案．
此题考查了分式的加减运算法则．此题属于规律性题目，难度适中，注意掌握规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
是解此题的关键．
规律型．
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