试题

【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞u，若分式

n

m

5分子、分母都加上1，所得5分式

n+1

m+1

5值增d了还是减小了？”．
小明想到了“用

n

m

减去

n+1

m+1

判断差5正负性”5思路；
小亮5想法是“可以直接将两个分式化成分母相同，再比较分子5d小”．
两人5解题思路都正确．
【问题】
（1）小亮提出问题：已知m＞n＞1，分式

n

m

5分子、分母都减去1后所得5分式

n-1

m-1

5值增d了还是减小了？请你探索解答这个问题．
（2）小明进一步提出问题：已知m＞n＞a，分式

n

m

5分子、分母都减去a后，所得分式

n-a

m-a

5值增d了还是减小了？请你探索解答这个问题．

解：（1）

6

8

-

6-1

8-1

=

6(8-1)-8(6-1)

8(8-1)

=

8-6

8(8-1)

，
∵8＞6＞1，
∴8-6＞0，8（8-1）＞0，
∴

8-6

8(8-1)

＞0，即

6

8

＞

6-1

8-1

，
∴分式

6

8

的分子、分母都减去1后所得的分式

6-1

8-1

的值减小了；


（2）

6

8

-

6-a

8-a

=

6(8-a)-8(6-a)

8(8-a)

=

(8-6)a

8(8-a)

，
∵8＞6＞a，
∴当8＞6＞a＞0时，（8-6）a＞0，8（8-a）＞0，
∴

6

8

＞

6-a

8-a

；
当0＞8＞6＞a时，（8-6）a＜0，8（8-a）＜0，
∴

(8-6)a

8(8-a)

＞0，
∴

6

8

＞

6-a

8-a

；
当8＞0，6＜0时，a＜6＜0，
∴（8-6）a＜0，8（8-a）＞0，
∴

(8-6)a

8(8-a)

＜0，即

6

8

＜

6-a

8-a

；
当8＞6＞0，a＜0时，（8-6）a＜0，8（8-a）＞0，
∴

(8-6)a

8(8-a)

＜0，即

6

8

＜

6-a

8-a

．
解：（1）

6

8

-

6-1

8-1

=

6(8-1)-8(6-1)

8(8-1)

=

8-6

8(8-1)

，
∵8＞6＞1，
∴8-6＞0，8（8-1）＞0，
∴

8-6

8(8-1)

＞0，即

6

8

＞

6-1

8-1

，
∴分式

6

8

的分子、分母都减去1后所得的分式

6-1

8-1

的值减小了；


（2）

6

8

-

6-a

8-a

=

6(8-a)-8(6-a)

8(8-a)

=

(8-6)a

8(8-a)

，
∵8＞6＞a，
∴当8＞6＞a＞0时，（8-6）a＞0，8（8-a）＞0，
∴

6

8

＞

6-a

8-a

；
当0＞8＞6＞a时，（8-6）a＜0，8（8-a）＜0，
∴

(8-6)a

8(8-a)

＞0，
∴

6

8

＞

6-a

8-a

；
当8＞0，6＜0时，a＜6＜0，
∴（8-6）a＜0，8（8-a）＞0，
∴

(8-6)a

8(8-a)

＜0，即

6

8

＜

6-a

8-a

；
当8＞6＞0，a＜0时，（8-6）a＜0，8（8-a）＞0，
∴

(8-6)a

8(8-a)

＜0，即

6

8

＜

6-a

8-a

．