试题

题目：
若n为正整数，观察下列各式：
①
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)；②
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)；③
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)…
根据观察计算并填空：
（1）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
=
3
7
3
7

（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n-1)(2n+1)
=
n
2n+1
n
2n+1
．
答案
3
7

n
2n+1

解：（1）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
）=
1
2
×
6
7
=
3
7
；
（2）原式=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
）=
1
2
×
2n+1-1
2n+1
=
n
2n+1
．
故答案是
3
7
；
n
2n+1
．
考点梳理
分式的加减法．
根据题意可知：
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
（
1
2n-1
-
1
2n+1
），据此展开，再正负抵消可求值．
本题考查了分式的加减法，解题的关键是找出运算规律，即
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
（
1
2n-1
-
1
2n+1
）．
压轴题；规律型．
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