试题

题目：
设
x
y
=
a
b
，求证
x2+a2
x+a
+
y2+b2
y+b
=
(x+y)2+(a+b)2
x+y+a+b

答案
证明：设
x
y
=
a
b
=t，则x=yt，a=bt，
左边=
y2t2+b2t2
yt+bt
+
y2+b2
y+b
=
(y2+b2)(t+1)
y+b
，
右边=
(yt+y)2+(bt+b)2
yt+y+bt+b
=
(y2+b2)(t+1)2
(y+b)(t+1)
=
(y2+b2)(t+1)
y+b
，
左边=右边，得证．
证明：设
x
y
=
a
b
=t，则x=yt，a=bt，
左边=
y2t2+b2t2
yt+bt
+
y2+b2
y+b
=
(y2+b2)(t+1)
y+b
，
右边=
(yt+y)2+(bt+b)2
yt+y+bt+b
=
(y2+b2)(t+1)2
(y+b)(t+1)
=
(y2+b2)(t+1)
y+b
，
左边=右边，得证．
考点梳理
分式的加减法．
设
x
y
=
a
b
=t（参数），则x=yt，a=bt，分别代入等式的左右两边化简，证明左边=右边．
本题考查了分式等式的证明方法，根据已知等式的特点，设参数，能使运算简便．
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