试题

（2013·海淀区二模）如图是液压汽车起重机从水中打捞重物的示意图．C是卷扬机，E是液压机的柱塞，能够竖直向上支撑起重臂OMB．在起重臂的两端分别固定有定滑轮，图中虚线框内是悬挂在起重臂B端的滑轮组（未画完整，其中A是定滑轮），卷扬机经O点和B点的定滑轮拉动滑轮组的钢丝绳自由端K，使重物始终以恒定的速度匀速上升．当重物完全浸没在水中上升的过程中，地面对起重机的支持力N₁为1.225×10⁵N，柱塞E对起重臂的支撑力为F₁，卷扬机对钢丝绳自由端K的拉力T₁为6.25×10³N，滑轮组的机械效率为η；重物被完全拉出水面后上升的过程中，地面对起重机的支持力N₂为1.375×10⁵N，柱塞E对起重臂的支撑力为F₂，卷扬机的输出功率P₂为5kW，对钢丝绳自由端K的拉力为T₂．已知定滑轮A的质量m_A为200kg，虚线框内动滑轮的总质量m_D为250kg，F₁：F₂=9：14．若不计起重臂、钢丝绳的质量及滑轮组的摩擦，g取10N/kg，求：
（1）被打捞的重物浸没在水中时受到的浮力F_浮；
（2）滑轮组的机械效率η；
（3）卷扬机拉动钢丝绳的速度v．

解：（1）设液压汽车起重机（包括滑轮组）受到的重力为G₀，被提升物体受到的重力为G，以起重机和被提升物体作为整体研究对象，物体在水中和在空气中的受力分析如图（1）甲和乙．

G0+G=N1+F浮…① G0+G=N2…②

①②联立可得F_浮=N₂-N₁=1.375×10⁵N-1.225×10⁵N=1.5×10⁴N．
（2）把吊臂作为一个杠杆，设吊臂B端受到的总重力为F_B、对应的力臂为L₁，柱塞E的支撑力对应的力臂为L₂，吊臂的受力分析如图（2）的甲、乙．

根据杠杆平衡条件得出：

FB1×L1=F1×L2 FB2×L1=F2×L2

，则

FB1

FB2

=

F1

F2

=

9

14

，
把滑轮组和物体作为一个整体进行受力分析，如图（3）中的甲和乙，

由图可得

G+GD+GA=FB1+F浮..③ G+GD+GA=FB2…④

③④联立得出：

FB1

FB2

=

G+GD+GA-F浮

G+GD+GA

=

9

14

，
则

G+mDg+mAg

F浮

=

14

5

，
即

G+250kg×10N/kg+200kg×10N/kg

1.5×104N

=

14

5

，
解得G=3.75×10⁴N．
η=

W有用

W总

×100%=

G-F浮

G+mg-F浮

×100%=

3.75×104-1.5×104N

3.75×104N+250kg×10N/kg-1.5×104N

×100%=90%．
（3）以动滑轮和物体作为一个整体进行受力分析，如下图（4）中的甲和乙．

G+GD=nT1+F浮．．⑤ G+GD=nT1．．⑥

由⑤得出n=

G+mDg-F浮

T1

=

3.75×104N×250kg×10N/kg-1.5×104N

6.25×3N

=4，
由⑥得出T₂=

G+mDg

n

=

3.75×104N+250kg×10N/kg

4

=10⁴N，
由功率公式P₂=T₂v得v=

P2

T2

=

5×103W

104N

=0.5m/s．
答：（1）被打捞的重物浸没在水中时受到的浮力为1.5×10⁴N；
（2）滑轮组的机械效率η为90%；
（3）卷扬机拉动钢丝绳的速度v等于0.5m/s．
解：（1）设液压汽车起重机（包括滑轮组）受到的重力为G₀，被提升物体受到的重力为G，以起重机和被提升物体作为整体研究对象，物体在水中和在空气中的受力分析如图（1）甲和乙．

G0+G=N1+F浮…① G0+G=N2…②

①②联立可得F_浮=N₂-N₁=1.375×10⁵N-1.225×10⁵N=1.5×10⁴N．
（2）把吊臂作为一个杠杆，设吊臂B端受到的总重力为F_B、对应的力臂为L₁，柱塞E的支撑力对应的力臂为L₂，吊臂的受力分析如图（2）的甲、乙．

根据杠杆平衡条件得出：

FB1×L1=F1×L2 FB2×L1=F2×L2

，则

FB1

FB2

=

F1

F2

=

9

14

，
把滑轮组和物体作为一个整体进行受力分析，如图（3）中的甲和乙，

由图可得

G+GD+GA=FB1+F浮..③ G+GD+GA=FB2…④

③④联立得出：

FB1

FB2

=

G+GD+GA-F浮

G+GD+GA

=

9

14

，
则

G+mDg+mAg

F浮

=

14

5

，
即

G+250kg×10N/kg+200kg×10N/kg

1.5×104N

=

14

5

，
解得G=3.75×10⁴N．
η=

W有用

W总

×100%=

G-F浮

G+mg-F浮

×100%=

3.75×104-1.5×104N

3.75×104N+250kg×10N/kg-1.5×104N

×100%=90%．
（3）以动滑轮和物体作为一个整体进行受力分析，如下图（4）中的甲和乙．

G+GD=nT1+F浮．．⑤ G+GD=nT1．．⑥

由⑤得出n=

G+mDg-F浮

T1

=

3.75×104N×250kg×10N/kg-1.5×104N

6.25×3N

=4，
由⑥得出T₂=

G+mDg

n

=

3.75×104N+250kg×10N/kg

4

=10⁴N，
由功率公式P₂=T₂v得v=

P2

T2

=

5×103W

104N

=0.5m/s．
答：（1）被打捞的重物浸没在水中时受到的浮力为1.5×10⁴N；
（2）滑轮组的机械效率η为90%；
（3）卷扬机拉动钢丝绳的速度v等于0.5m/s．