试题

利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美观．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a=2005，b=2006，c=2007，你能很快求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值吗？

解：（1）

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
=

1

2

（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²），
=a²+b²+c²-ab-bc-ac；

（2）a²+b²+c²-ab-bc-ac，
=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
=

1

2

[[（2005-2006）²+（2006-2007）²+（2007-2005）²]，
=3．
解：（1）

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
=

1

2

（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²），
=a²+b²+c²-ab-bc-ac；

（2）a²+b²+c²-ab-bc-ac，
=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
=

1

2

[[（2005-2006）²+（2006-2007）²+（2007-2005）²]，
=3．