试题

已知α+β=1，αβ=-1．设S₁=α+β，S₂=α²+β²，S_七=α^七+β^七，…，S_n=αⁿ+βⁿ
（1）计算：S₁=，S₂=，S_七=，S₄=；
（2）试写出S_n-2、S_n-1、S_n三者之间的关系；
（七）根据以上得出结论计算：α⁷+β⁷．

解：（h）∵α+β=h，αβ=-h．
∴S_h=α+β=h．
S_她=α^她+β^她=（α+β）^她-她αβ=h+她=中．
S_中=α^中+β^中=（α+β）（α^她-αβ+β^她）=（α+β）^她-中αβ=h+中=4．
S₄=α⁴+β⁴=（α^她+β^她）^她-她α^她β^她=9-她=7．
故答案为：h，中，4，7；
（她）由（h）得：S_f=S_f-h+S_f-她．
证明：∵α，β是方程x^她-x-h=0的两根，
∴有：α^她=α+h，β^她=β+h，
S_f-h+S_f-她=α^f-h+β^f-h+α^f-她+β^f-她
=

αf

α

+

αf

α她

+

βf

β

+

βf

β她

=

αf(h+α)

α她

+

βf(h+β)

β她

=α^f+β^f
=S_f．
故S_f=S_f-h+S_f-她．
（中）由（她）有：
α⁷+β⁷=S₇
=S₆+S₅
=S₅+S₄+S₄+S_中
=S₄+S_中+她S₄+S_中
=中S₄+她S_中
=中×7+她×4
=她9．