试题

如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28神秘数，2010神秘数（填“是”或“不是”）；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），那么由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗，它是不是8的倍数？为什么？
（3）两个连续的奇数的平方差是神秘数吗？为什么？

解：（1）∵28=8²-6²，2010无法写成两数平方差的形式，
∴28是“神秘数”；2010不是“神秘数”；
故答案为：是，不是；

（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵2k+1是奇数，
∴它不是8的倍数；

（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）²-（2k-1）²=8k，
而由（2）知神秘是4的倍数，但不一定是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．