试题

（2012·朝阳区二模）道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所．如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上．弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直．可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动．弹簧自重G_弹簧=30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA=20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l₁=80cm，这时栏杆在水平位置平衡．在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡．栏杆与固定装置总重为G_栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F_拉的关系图象如图乙所示．

求：
（1）栏杆和固定装置总重G_栏杆；
（2）第二次弹簧的长度．

解：（1）栏杆绕O点转动，可以看作杠杆．当杠杆水平平衡时，受力示意图如下

根据杠杆平衡条件：F₁·OA=G_栏杆·OB
F₁=F_拉1+G_弹簧，从图丙中可以知道：F_拉1=300N
G_栏杆

(F拉1 +G弹簧)·OA

OB

=

(300N+30N)×0.2m

1.2m

=55N   

（2）栏杆上加了警示牌后G_栏杆′=G_栏杆+G_警示牌=55N+5N=60N     
根据杠杆平衡条件：F₂·OA=G_栏杆′·OB
F₂=

G栏杆′·OB

OA

=

60N×1.2m

0.2m

=360N   
F₂=F_拉2+G_弹簧  F_拉2=F₂-G_弹簧=360N-30N=330N     
设弹簧原长为l₀，由于弹簧伸长的长度与拉力成正比，
所以有等式（l₂-l₀）：（l₁-l₀）=F_拉2：F_拉1
（l₂-50cm）：（80cm-50cm）=330N：300N
解出l₂=83cm．
答：（1）栏杆和固定装置总重G_栏杆=55N．
（2）第二次弹簧的长度是83cm．
解：（1）栏杆绕O点转动，可以看作杠杆．当杠杆水平平衡时，受力示意图如下

根据杠杆平衡条件：F₁·OA=G_栏杆·OB
F₁=F_拉1+G_弹簧，从图丙中可以知道：F_拉1=300N
G_栏杆

(F拉1 +G弹簧)·OA

OB

=

(300N+30N)×0.2m

1.2m

=55N   

（2）栏杆上加了警示牌后G_栏杆′=G_栏杆+G_警示牌=55N+5N=60N     
根据杠杆平衡条件：F₂·OA=G_栏杆′·OB
F₂=

G栏杆′·OB

OA

=

60N×1.2m

0.2m

=360N   
F₂=F_拉2+G_弹簧  F_拉2=F₂-G_弹簧=360N-30N=330N     
设弹簧原长为l₀，由于弹簧伸长的长度与拉力成正比，
所以有等式（l₂-l₀）：（l₁-l₀）=F_拉2：F_拉1
（l₂-50cm）：（80cm-50cm）=330N：300N
解出l₂=83cm．
答：（1）栏杆和固定装置总重G_栏杆=55N．
（2）第二次弹簧的长度是83cm．