试题

如图所示，重16km的金属圆柱体放在圆筒形容器中，细绳AD系于圆柱体上底面中央并沿竖直方向，杠杆AB可绕O点在竖直平面内转动．当把小球P先后挂在B点与C点时，圆柱体对水平容器底面的压强变化了2500p_a．当向容器中注水，使圆柱体没入水中，为使圆柱体对容器底面的压力恰好为零，需将小球P悬挂于距支点O1.4m的地方．已知杠杆在以上的各个状态中，杠杆均在水平位置上平衡，AO=0.5m，CB=0.5m，圆柱体高h=0.1m．（g取10N/km，杠杆的质量、悬挂圆柱体和小球P的细绳的质量均忽略不计）求：金属圆柱体的密度．

解：
设小球挂在B点时，绳子对杠杆A端的拉力为F₁，圆柱体对容器底面的压力为N₁；小球挂在C点时，绳子对杠杆A端的拉力为F₂，圆柱体对容器底面的压力为N₂；小球P重为G₀；圆柱体重为G．
∵F₁×AO=G₀×OB，
∴F₁=

G0×OB

AO

，
∵F₂×AO=G₀×OC，
∴F₂=

G0×(OB-CB)

AO

，
∵F₁+N₁=G，F₂+N₂=G，
∴N₂-N₁=F₁-F₂，
△p=

N2-N1

S

=

F1-F2

S

，
∴F₁-F₂=△pS=

G0×OB

0.5m

-

G0×(OB-0.5m)

0.5m

=G₀，
即：2500Pa×S=G₀------------①
圆柱体没入水中时，杠杆平衡，圆柱体对容器底压力恰好为零，绳对杠杆A端的拉力：
F₃×0.5m=G₀×1.4m，
F₃+F_浮=G，
F_浮=ρ_水gV_排=10³kg/m³×10N/kg×S×0.1m=1000S，
2.8G₀+1000S=160N------------②
由①②式解得  S=0.02m²
V=Sh=0.02m²×0.1m=2×10^-3m³
ρ=

m

V

=

16kg

2×10-3m3

=8×10³kg/m³．
答：金属圆柱体的密度为8×10³kg/m³．
解：
设小球挂在B点时，绳子对杠杆A端的拉力为F₁，圆柱体对容器底面的压力为N₁；小球挂在C点时，绳子对杠杆A端的拉力为F₂，圆柱体对容器底面的压力为N₂；小球P重为G₀；圆柱体重为G．
∵F₁×AO=G₀×OB，
∴F₁=

G0×OB

AO

，
∵F₂×AO=G₀×OC，
∴F₂=

G0×(OB-CB)

AO

，
∵F₁+N₁=G，F₂+N₂=G，
∴N₂-N₁=F₁-F₂，
△p=

N2-N1

S

=

F1-F2

S

，
∴F₁-F₂=△pS=

G0×OB

0.5m

-

G0×(OB-0.5m)

0.5m

=G₀，
即：2500Pa×S=G₀------------①
圆柱体没入水中时，杠杆平衡，圆柱体对容器底压力恰好为零，绳对杠杆A端的拉力：
F₃×0.5m=G₀×1.4m，
F₃+F_浮=G，
F_浮=ρ_水gV_排=10³kg/m³×10N/kg×S×0.1m=1000S，
2.8G₀+1000S=160N------------②
由①②式解得  S=0.02m²
V=Sh=0.02m²×0.1m=2×10^-3m³
ρ=

m

V

=

16kg

2×10-3m3

=8×10³kg/m³．
答：金属圆柱体的密度为8×10³kg/m³．