试题

（2012·北京一模）如图为一水箱自动进水装置．其中水箱高h为3m，杆AB能绕O点在竖直平面转动，OA=2OB，且O点距箱底1m．C处为进水管阀门，阀门厚度不计，进水管口横截面积为2cm²．BC为一直杆，A点以一细绳与浮体D相连，浮体D是一个密度为0.4×10³kg/m³的圆柱体，高为0.5m，细绳长为1m．细绳、杆、阀的重力不计，AB杆水平时正好能堵住进水管．当进水管中水的压强为P₁时，水箱深度为2.4m．设进水管中水的最大压强为P₂，且P₁：P₂=11：15．现在进水管中水的压强为P₃，P₃=3.3×10⁴Pa，且P₃＜P₁．求水箱中水的深度为多少时，进水管停止进水．（g取10N/kg）

解：
（1）当进水管中水的压强为P₁时，分别对浮体D、杠杆及阀门C受力分析，如图1所示：

当进水管中水的压强为P₂时，分别对浮体D、杠杆及阀门C受力分析，如图2所示：
当进水管中水的压强为P₃时，分别对浮体D、杠杆及阀门C受力分析，如图3所示：

由第一幅图和第二幅图可得：
F₁=F₁′=F_浮-G=ρ_水gs₁h₁-ρ_柱gs₁h₁=（ρ_水-ρ_柱）gs₁h₁
=（1.0×10³kg/m³-0.4×10³kg/m³）×10N/kg×10×10^-4m²×0.5m=3N，
由F₁·0A=F₂·OB可得：
F₂′=F₂=2F₁=6N，
由第三幅图可得：
F₃=P_水S=ρ_水gsh=1.0×10³kg/m³×3m×2×10^-4m²=6N，
F=F₂′+F₃=6N+6N=12N，
进水管中水的压强不能超过
P_进=

F

S

=

12N

2×10-4m2

=6.0×10⁴Pa．
（2）F′=P_进′S=3.3×10⁴Pa×2×10^-4m²=6.6N，
由于水深3m对进水口压力才为6N，故浮体起作用时设水深为h′则
2ρ_水gS₁（h′-2m）-2ρ_柱gS₁h₁+ρ_水gh′S=F′，
整理可得：h′=

F′+(2ρ水×2m+ρ柱h1)gS1

(2S1+S) ρ水g

=

6.6N+2×(1.0×103kg/m3×2m+0.4×103kg/m3×0.5m)×10N/kg×10×10-4m2

(2×10×10-4m2+2×10-4m2)×1.0×103×10N/kg

≈2.3m．
答：水箱中的水深度达到2.3m时，进水管停止进水．
解：
（1）当进水管中水的压强为P₁时，分别对浮体D、杠杆及阀门C受力分析，如图1所示：

当进水管中水的压强为P₂时，分别对浮体D、杠杆及阀门C受力分析，如图2所示：
当进水管中水的压强为P₃时，分别对浮体D、杠杆及阀门C受力分析，如图3所示：

由第一幅图和第二幅图可得：
F₁=F₁′=F_浮-G=ρ_水gs₁h₁-ρ_柱gs₁h₁=（ρ_水-ρ_柱）gs₁h₁
=（1.0×10³kg/m³-0.4×10³kg/m³）×10N/kg×10×10^-4m²×0.5m=3N，
由F₁·0A=F₂·OB可得：
F₂′=F₂=2F₁=6N，
由第三幅图可得：
F₃=P_水S=ρ_水gsh=1.0×10³kg/m³×3m×2×10^-4m²=6N，
F=F₂′+F₃=6N+6N=12N，
进水管中水的压强不能超过
P_进=

F

S

=

12N

2×10-4m2

=6.0×10⁴Pa．
（2）F′=P_进′S=3.3×10⁴Pa×2×10^-4m²=6.6N，
由于水深3m对进水口压力才为6N，故浮体起作用时设水深为h′则
2ρ_水gS₁（h′-2m）-2ρ_柱gS₁h₁+ρ_水gh′S=F′，
整理可得：h′=

F′+(2ρ水×2m+ρ柱h1)gS1

(2S1+S) ρ水g

=

6.6N+2×(1.0×103kg/m3×2m+0.4×103kg/m3×0.5m)×10N/kg×10×10-4m2

(2×10×10-4m2+2×10-4m2)×1.0×103×10N/kg

≈2.3m．
答：水箱中的水深度达到2.3m时，进水管停止进水．