试题

如图所示OB为粗细均匀的均质杠杆，O为支点，在离O点距离为a的A处挂一个质量为M的物体，杠杆每单位长度的质量为m，当杠杆为多长时，可以在B点用最小的作用力F维持杠杆平衡？（　　）
A．

2Ma/m

B．

Ma/m

C．2Ma/m
D．无限长

A
解：（1）由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OB，阻力分别是重物G_物和杠杆的重力G_杠杆，阻力臂分别是OA和

1

2

OB，重物的重力G_物=Mg
杠杆的重力G_杠杆=mg×OB，
由杠杆平衡条件F₁L₁=F₂L₂可得：
F·OB=G_物·OA+G_杠杆·

1

2

OB，
（2）代入相关数据：
则F·OB=Mg·a+mg·OB·

1

2

OB，
得：F·OB=Mga+

1

2

mg·（OB）²，
移项得：

1

2

mg·（OB）²-F·OB+Mga=0，
∵杠杆的长度OB是确定的，只有一个，所以该方程只能取一个解，
∴该方程根的判别式b²-4ac等于0，因为当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，
即：则F²-4×

1

2

mg×Mga=0，
则F²=2mMg²a，
得F=

2mMa

·g，
（3）将F=

2mMa

·g代入方程

1

2

mg·（OB）²-F·OB+Mga=0，
解得OB=

2Ma m

．
故选A．