试题

如图，直线l：y=-2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，直线A′B′交l于点C．
（1）求A′，B′两点的坐标及直线A′B′的解析式．
（2）求△A′BC的面积．

解：（1）∵令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，
∴A（2，0），B（0，4），
由图形旋转的性质可知，A’（ 0，-2），B’（ 4，0），
设过A’（ 0，-2），B’（ 4，0）的解析式为y=kx+b（k≠0）
则

b=-2 4k+b=0

，解得

b=-2 k= 1 2

，
故此直线的解析式为：y=

1

2

x-2；

（2）∵过A′，B′两点的解析式为：y=

1

2

x-2；
∴

y=-2x+4 y= 1 2 x-2

，解得

x= 12 5 y=- 4 5

，
∴C（

12

5

，-

4

5

），
∴S_△A’BC=

1

2

|A′B|×

12

5

=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

．
解：（1）∵令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，
∴A（2，0），B（0，4），
由图形旋转的性质可知，A’（ 0，-2），B’（ 4，0），
设过A’（ 0，-2），B’（ 4，0）的解析式为y=kx+b（k≠0）
则

b=-2 4k+b=0

，解得

b=-2 k= 1 2

，
故此直线的解析式为：y=

1

2

x-2；

（2）∵过A′，B′两点的解析式为：y=

1

2

x-2；
∴

y=-2x+4 y= 1 2 x-2

，解得

x= 12 5 y=- 4 5

，
∴C（

12

5

，-

4

5

），
∴S_△A’BC=

1

2

|A′B|×

12

5

=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

．