试题

如图，已知直角梯形ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=10cm，DA=5cm．点P从点A开始沿直角梯形的边以1cm/s的速度匀速运动：即由点A-B-C-D-A（回到点A），设△APD的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）求出S关于t的函数关系式，并注明t的取值范围；
（2）画出S关于t的函数图象；
（3）点P出发多长时间使△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半？
（4）S是否存在最大值？若存在，何时最大，最大值是多少？

解：（1）分四种情况：
①当点P在AB上，即0≤t≤7时，AP=1·t=t．
S=

1

2

t·4=2t；
②当点P在BC上，即7＜t≤11时，AB+BP=t，BP=t-7，CP=11-t．
S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP
=

1

2

（7+10）×4-

1

2

×7×（t-7）-

1

2

×10×（11-t）
=

3

2

t+

7

2

；
③当点P在CD上，即11＜t≤21时，AB+BC+CP=t，DP=21-t．
S=

1

2

（21-t）×4=42-2t；
④当点P在DA上，即21＜t≤26时，A、P、D三点共线，
S=0．
综上可知，S=

2t(0≤t≤7) 3 2 t+ 7 2 (7＜t≤11) 42-2t(11＜t≤21) 0(21＜t≤26)

；

（2）如下图所示：


（3）设点P出发ts时，△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半．
∵S_梯形ABCD=

1

2

（7+10）×4=34，
∴

1

2

S_梯形ABCD=17．
由图象可知，当7＜t≤11时，有

3

2

t+

7

2

=17，解得t=9；
当11＜t≤21时，有42-2t=17，解得t=

25

2

．
故当解得t=9s或t=

25

2

s时，△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半；

（4）由图象可知，当t=11s时，S存在最大值20cm²．
解：（1）分四种情况：
①当点P在AB上，即0≤t≤7时，AP=1·t=t．
S=

1

2

t·4=2t；
②当点P在BC上，即7＜t≤11时，AB+BP=t，BP=t-7，CP=11-t．
S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP
=

1

2

（7+10）×4-

1

2

×7×（t-7）-

1

2

×10×（11-t）
=

3

2

t+

7

2

；
③当点P在CD上，即11＜t≤21时，AB+BC+CP=t，DP=21-t．
S=

1

2

（21-t）×4=42-2t；
④当点P在DA上，即21＜t≤26时，A、P、D三点共线，
S=0．
综上可知，S=

2t(0≤t≤7) 3 2 t+ 7 2 (7＜t≤11) 42-2t(11＜t≤21) 0(21＜t≤26)

；

（2）如下图所示：


（3）设点P出发ts时，△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半．
∵S_梯形ABCD=

1

2

（7+10）×4=34，
∴

1

2

S_梯形ABCD=17．
由图象可知，当7＜t≤11时，有

3

2

t+

7

2

=17，解得t=9；
当11＜t≤21时，有42-2t=17，解得t=

25

2

．
故当解得t=9s或t=

25

2

s时，△APD的面积等于直角梯形ABCD面积的一半；

（4）由图象可知，当t=11s时，S存在最大值20cm²．