试题

（2013·杭州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图；
（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：
①当0＜t≤5时，y=

4

5

t²；②当t=6秒时，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=

1

2

；④当t=

29

2

秒时，△ABE∽△QBP；
其中正确的是（　　）
A．①②
B．①③④
C．③④
D．①②④

D
解：
根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
又∵从M到N的变化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2=

AE

BE

=

6

10

=

3

5

．
故③错误；
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴sin∠1=sin∠2=

AB

BE

=

8

10

=

4

5

，
∴PF=PB·sin∠1=

4

5

t，
∴当0＜t≤5时，y=

1

2

BQ·PF=

1

2

×2t×

4

5

t=

4

5

t²，故①正确；
如图3，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处．
在△ABE与△PQB中，

AE=BP=6 ∠1=∠2 BE=BC

，
∴△ABE≌△PQB（SAS）．
故②正确；
如图4，当t=

29

2

秒时，点P在CD上，此时，PD=

29

2

-BE-ED=

29

2

-10-4=

1

2

，
PQ=CD-PD=8-

1

2

=

15

2

，
∵

AB

AE

=

8

6

=

4

3

，

BQ

PQ

=

10

15 2

=

4

3

，
∴

AB

AE

=

BQ

PQ

又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选D．