试题

题目：
如果记y=
x2
1+x2
=f(x)，并且f（1）表示当x=1时，y的值，即f(1)=
12
1+12
=
1
2
，同理f(
1
2
)表示当x=
1
2
时y的值，即f(
1
2
)=
(
1
2
)2
1+(
1
2
)2
=
1
5
，…那么f(1)+f(2)+f(
1
2
)+f(3)+f(
1
3
)+…+f(n)+f(
1
n
)=
n-
1
2
n-
1
2
（结果用含有n的代数式表示，n为正整数）（说明：通常在高中我们表示函数时候，习惯用f（x）表示以自变量x的函数值，如初中我们的函数y=2x-3，我们在高中就将其表示为f（x）=2x-3）
答案
n-
1
2

解：∵f（x）=
x2
1+x2
，
∴f（
1
x
）=
(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
1
1+x2
，
∴f（x）+f（
1
x
）=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=1，
∴f(1)++f(2)+f(
1
2
)+f(3)+f(
1
3
)+…+f(n)+f(
1
n
)
=f（1）+f（2）+f（
1
2
）+f（3）+f（
1
3
）+…+f（n）+f（
1
n
）
=n-
1
2
．
故答案为：n-
1
2
．
考点梳理
函数值．
根据题意，求出f（x）与f（
1
x
）的和，从而得到规律，然后根据规律求解即可．
本题考查了函数值的求解，找出规律f（x）+f（
1
x
）=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=1是求解的关键．
规律型．
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