试题

题目：
青果学院矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为
9
7
-3
14
7
9
7
-3
14
7
．
答案
9
7
-3
14
7

解：根据折叠的性质知：BP=PB′，若点P到CD的距离等于PB，则此距离必与B′P相同，所以该距离必为PB′．延长AE交CD的延长线于F．
由题意知：AB=AB′=3，∠BAE=∠B′AE，
∵Rt△ACB′中，AB′=3，AC=
AD 2-AB 2
=
7
，
∴CB′=
AB′ 2-AC 2
=
2
，
由于DF∥AB，则∠F=∠BAE，
又∵∠BAE=∠B′AE，青果学院
∴∠F=∠B′AE，
∴FB′=AB′=3；
∵PB′⊥CD，AC⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴
PB′
AC
=
FB′
FC
，
∴
PB′
7
=
3
3+
2
，
解得：PB'=
9
7
-3
14
7

故答案为：
9
7
-3
14
7
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
由翻折的性质知，BP=B′P，而要点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故有PB′⊥CD，延长AE交DC的延长线于点F，由于DF∥AB，则∠F=∠BAE=∠B′AE，所以B′F=B′A=AB=3，而B′P∥AC，利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形的性质）即可求得B′P的长，由此得解．
此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现PB′就是所求的P到CD的距离．
探究型．
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