试题

（2010·静海县一模）在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的

1

4

．
（Ⅰ）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于；
（Ⅱ）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于

3

2

a2；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．

解：（Ⅰ）如右图，∵CD=AD=a，
∴∠DCA=∠A=30°，
∴∠CDB=∠DCA+∠A=60°，
又∵CD=BD=a，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠DCA+∠BCD=90°．
在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2a，
∴BC=a，AC=

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC·AC=

3

2

a²，
又∵重叠部分的面积等于折叠前△ABC的面积的

1

4

，
∴重叠部分的面积=

3

8

a²；

（Ⅱ）对于结论①，若AC=a成立，如图（一），在△ACD中，由∠CAD=30°，AD=a，
∴∠ADC=

1

2

（180°-∠CAD）=75°，∠CDB=180°-∠ADC=105°，
∵∠CDB₁=∠CDB，
∴∠B₁DA=105°-75°=30°，
∴AC∥B₁D，
∵B₁D=BD=a=AC，
∴四边形AB₁DC为平行四边形．
∴S_△CED=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，满足条件，即AC的长可以等于a，故①正确；
对于结论②，若S_△ABC=

3

2

a2，
∵S_△ABC=

1

2

AB·AC·sin∠CAB，
∴AC=

3

a，
∵AC=

3

a，∠B=60°，如图（二），
∴∠CDB=60°=∠DCB₂，
∴AD∥B₂C，
又∵B₂C=BC=a=AD，
∴四边形AB₂CD为平行四边形，
∴S_△CFD=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，满足条件，
即S_△ABC的值可以等于

3

2

a2，故②正确；
对于结论③，由平行四边形AB₁DC或平行四边形AB₂CD，显然成立，故③正确．
故答案为

3

8

a2；①②③．