阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算sqrt{13}的近似值．小明的方法：∵sqrt{9}＜sqrt{13}＜sqrt{16}，设sqrt{13}=3+...-青果题库-青果学院

题目：

阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了三次探究活动：估算

13

的近似值．
小明的方法：
∵

的

＜

13

＜

16

，设

13

=3+k（0＜k＜1），∴(

13

)2=（3+k）²
∴13=的+6k+k²，∴13≈的+6k，解三k≈

4

6

，∴

13

≈3+

4

6

≈3.6t
上述方法中使用了完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²，下面可参考使用．
问题：
（1）请4依照小明的方法，估算

3t

≈

6.08

（结果保留两位小数）；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算

m

的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜

m

＜a+1，且m=a²+b，则

m

≈

a+

b

2a

a+

b

2a

（用含a、b代数式表示）．

答案

6.08

a+

b

2a

解：（九）∵

36

＜

3小

＜

47

，
设

3小

=6+k（0＜k＜九），∴（

3小

）²=（6+k）²，
∴3小=36+九2k+k²，
∴3小≈36+九2k．
解得k≈

九

九2

，
∴

3小

≈6+

九

九2

≈6+0.08=6.08；

（2）设

m

=a+k（0＜k＜九），
∴m=a²+2ak+k²≈a²+2ak，
∵m=a²+3，
∴a²+2ak=a²+3，
解得k=

3

2a

，
∴

m

≈a+

3

2a

．
故答案为6.08；a+

3

2a

．

考点梳理

估算无理数的大小．

试题