在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到sqrt{n}（n为正整数）的近似值ak（k为正整数），并通过迭代逐渐减小|ak-sqrt{n}|的值来提高ak的精确度，...-青果题库-青果学院

题目：

在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到

n

（n为正整数）的近似值a_k（k为正整数），并通过迭代逐渐减小|a_k-

n

|的值来提高a_k的精确度，以求

7

的近似值为例，迭代过程如下：
（1）先估计

7

的范围并确定迭代的初始值a₁：
∵

4

＜

7

＜

9

，∴2＜

7

＜3，取a1=2+

3-2

2

=2.5；
（2）通过计算mk=

(ak)2-n

2ak

和ak+1=ak-mk得到精确度更高的近似值a_k+1：（说明

7

≈2.6458，此题中记

7

≈2.6458，以下结果都要求写成小数形式）：
k=1时，m₁=

(a1)2-7

2a1

=

-0.15

，a₂=a₁-m₁=

2.65

，|a₂-

7

|=

0.0042

；
k=1时，m₂=

( )

≈

0.004

（精确到0.001），a₃=

a₂

-

m₂

=

2.646

'|a₃-

7

|=

0.0002

；
…

答案

-0.15

2.65

0.0042

0.004

a₂

m₂

2.646

0.0002

解：（2）∵2＜

7

＜3，
∴a₁=2+

3-2

2

=2.5，
∴m₁=

2．52-7

2×2.5

=-0.15，a₂=a₁-m₁=2.5-（-0.15）=2.65，|a₂-

7

|≈|2.65-2.6458|=0.0042，
m₂=

a22-7

2a2

=

2.652-7

2×2.65

≈0.004，
a₃=a₂-m₂=2.65-0.004=2.646，
|a₃-

7

|≈|2.646-2.6458|=0.0002，
故答案为：-0.15，2.65，0.0042，0.004，a₂，m₂，2.646，0.0002．

考点梳理

估算无理数的大小．

试题