试题

题目：
如图1，四边形ABCD是矩形，AB=3CB，G是CD边上的一点，且CG=BC．
（1）以CG为一边在矩形ABCD右侧作矩形CEFG，使矩形ABCD≌矩形CEFG；（要求尺规作图，不写作法）
（2）连接BG，DE．试问图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，并说明理由；
（3）将图1中的矩形CEFG绕着点C按逆时针方向旋转任意角度α，得到如青果学院图2，请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
答案
解：（1）画图略．

（2）∵BC=CG，CD=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
∴
BC
CE
=
CG
CD
，
∴△BGC∽△DFC．
∴
BG
DE
=
BC
DC
=
1
3
．
∵∠GBC=∠DEC=45°，
∴BG⊥DE．

（3）结论成立．因为旋转是全等变换，所以矩形ABCD≌矩形CEFG．
解：（1）画图略．

（2）∵BC=CG，CD=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
∴
BC
CE
=
CG
CD
，
∴△BGC∽△DFC．
∴
BG
DE
=
BC
DC
=
1
3
．
∵∠GBC=∠DEC=45°，
∴BG⊥DE．

（3）结论成立．因为旋转是全等变换，所以矩形ABCD≌矩形CEFG．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；作图—复杂作图；旋转的性质．
（2）证明△BGC∽△DFC，根据相似三角形的性质得出线段BG、线段DE的长度关系及位置关系．
本题考查旋转的性质，注意旋转不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置．
探究型．
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