试题

已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点B是射线ON上的一定点，顶点A于点O重合，顶点C在∠MON内部
（1）当点A在射线OM上移动到A₁时，连接A₁B，请在∠MON内部作出以A₁B为一边的等边三角形A₁BC₁（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设A₁B与OC交于点Q，BC的延长线与A₁C₁交于点D．求证：△BCQ∽△BA₁D；
（3）连接CC₁，试猜想∠BCC₁为多少度，并证明你的猜想．

解：（1）如图所示：

（2）∵△ACB和△A₁C₁B都是等边三角形，
∴∠BCQ=∠BA₁D=60°，
∵∠A₁BD=∠QBC，
∴△BCQ∽△BA₁D；

（3）猜想∠BCC₁=90°，
∵△ACB和△A₁C₁B都是等边三角形，
∴∠CBA=∠A₁BC₁=60°，A₁B=C₁B，AB=CB，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
在△A₁BA和△C₁BC中：

A1B=C1B ∠A1BA=∠C1BC AB=CB

，
∴△A₁BA≌△C₁BC（ASA），
∴∠BCC₁=∠BAA₁=90°．
解：（1）如图所示：

（2）∵△ACB和△A₁C₁B都是等边三角形，
∴∠BCQ=∠BA₁D=60°，
∵∠A₁BD=∠QBC，
∴△BCQ∽△BA₁D；

（3）猜想∠BCC₁=90°，
∵△ACB和△A₁C₁B都是等边三角形，
∴∠CBA=∠A₁BC₁=60°，A₁B=C₁B，AB=CB，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
在△A₁BA和△C₁BC中：

A1B=C1B ∠A1BA=∠C1BC AB=CB

，
∴△A₁BA≌△C₁BC（ASA），
∴∠BCC₁=∠BAA₁=90°．