试题

三等分任意角是一个作图难题，在距第一次提出这个问题两千年之后，这个问题才被证实用尺规作图（用没有刻度的直尺和圆规作图）无法解决．现在有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决尺规作图无法解决的三等分任意角的问题．
如图所示就是一个用来三等分任意角的工具及其使用示意图．
（1）制作该工具时BE所在的直线、点C应分别满足什么条件？使用时应注意些什么？
（2）你能说出该工具三等分任意角的道理吗？

解：
（1）BE垂直平分AC，C是BD的中点；角的顶点落在BE上，使角的一边经过点A，另一边与半圆相切．（3′）
（2）如图，设被平分的角顶点为O点，
∵BE垂直平分AC，∴OA=OC，∴∠AOB=∠BOC，
∵C是BD的中点，∴CB=CF，且BC⊥OB，CF⊥OF，
∴∠BOC=∠FOC，
∴该工具能三等分任意角．
解：
（1）BE垂直平分AC，C是BD的中点；角的顶点落在BE上，使角的一边经过点A，另一边与半圆相切．（3′）
（2）如图，设被平分的角顶点为O点，
∵BE垂直平分AC，∴OA=OC，∴∠AOB=∠BOC，
∵C是BD的中点，∴CB=CF，且BC⊥OB，CF⊥OF，
∴∠BOC=∠FOC，
∴该工具能三等分任意角．