试题

如图，正方形ABCD中，G是BC中点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，GN∥DE，M是BC延长线上一点．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）尺规作图：作∠DCM的平分线，交GN于点H（保留作图痕迹，不写作法和证明），试证明GH=AG．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠GAB=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠GAB=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠BFA=∠AED AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）如图所示：
方法1：作HI⊥BM于点I，
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGI=90°．
∵HI⊥BM，
∴∠GHI+∠HGI=90°，
∴∠AGB=∠GHI．
∵G是BC中点，
∴tan∠AGB=

AB

BG

=2，
∴tan∠GHI=tan∠AGB=

GI

HI

=2，
∴GI=2HI，
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCI=

1

2

∠DCM=45°，
∴CI=HI，
∴CI=CG=BG=HI，
在△ABG和△GIH中，

∠ABG=∠GIH BG=HI ∠AGB=∠GHI

，
∴△ABG≌△GIH（ASA），
∴AG=GH；
方法2：作AB中点P，连结GP，
∵P、G分别是AB、BC中点 且AB=BC，
∴AP=BP=BG=CG，
∴∠BPG=45°．
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCM=

1

2

∠DCM=45°，
∴∠APG=∠HCG=135°．
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGM=90°，
∵∠BAG+∠AGB=90°，
∴∠BAG=∠HGM．
在△AGP和△GHC中

∠PAG=∠CGH AP=GC ∠AGP=∠GHC

，
∴△AGP≌△GHC（ASA），
∴AG=GH．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠GAB=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠GAB=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠BFA=∠AED AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）如图所示：
方法1：作HI⊥BM于点I，
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGI=90°．
∵HI⊥BM，
∴∠GHI+∠HGI=90°，
∴∠AGB=∠GHI．
∵G是BC中点，
∴tan∠AGB=

AB

BG

=2，
∴tan∠GHI=tan∠AGB=

GI

HI

=2，
∴GI=2HI，
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCI=

1

2

∠DCM=45°，
∴CI=HI，
∴CI=CG=BG=HI，
在△ABG和△GIH中，

∠ABG=∠GIH BG=HI ∠AGB=∠GHI

，
∴△ABG≌△GIH（ASA），
∴AG=GH；
方法2：作AB中点P，连结GP，
∵P、G分别是AB、BC中点 且AB=BC，
∴AP=BP=BG=CG，
∴∠BPG=45°．
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCM=

1

2

∠DCM=45°，
∴∠APG=∠HCG=135°．
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGM=90°，
∵∠BAG+∠AGB=90°，
∴∠BAG=∠HGM．
在△AGP和△GHC中

∠PAG=∠CGH AP=GC ∠AGP=∠GHC

，
∴△AGP≌△GHC（ASA），
∴AG=GH．