试题

（2013·阜宁县二模）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数；
（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．求PH的长．

解：（1）尺规作图正确（以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点）

（2））∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，
∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；

（3）如图，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．
过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上，
∴ME=4，NE=3，
∴MN=5，
PM=4，PH=2时，HM=2

5

构成勾股数，
同理可得：
PH″=

13

4

或PH=2或PH′=3．
解：（1）尺规作图正确（以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点）

（2））∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，
∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；

（3）如图，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．
过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上，
∴ME=4，NE=3，
∴MN=5，
PM=4，PH=2时，HM=2

5

构成勾股数，
同理可得：
PH″=

13

4

或PH=2或PH′=3．