试题

题目：
（2009·上城区一模）已知如图，AB为半圆⊙O的直径，C为半圆上的一点．
（1）请你只用直尺和圆规，分别以AC、BC为直径，向△ABC外侧作半圆．（不必写出作法，只需保留作图痕迹）
（2）若AC=3，BC=4，求所作的两个半圆中不与⊙O重叠的部分的面积和．
青果学院
答案
解：（1）如图：
青果学院

（2）设以BC为直径的半圆与已知半圆不重合的部分面积为S1，重合部分面积为S2，
以AC为直径的半圆与已知半圆不重合的部分面积为S3，重合部分面积为S4，
则∵AB为直径，∴∠C=90°，又∵AC=3，BC=4，∴AB=5
∵S1+S2=
1
2
π(
BC
2
)2=2π，
S3+S4=
1
2
π(
AC
2
)2=
9
8
π，
S2+S4+S△ABC=
1
2
π(
AB
2
)2=
25
8
π，
∴S1+S2+S3+S4=S2+S4+S△ABC，
∴S1+S3=S△ABC=6．
解：（1）如图：
青果学院

（2）设以BC为直径的半圆与已知半圆不重合的部分面积为S1，重合部分面积为S2，
以AC为直径的半圆与已知半圆不重合的部分面积为S3，重合部分面积为S4，
则∵AB为直径，∴∠C=90°，又∵AC=3，BC=4，∴AB=5
∵S1+S2=
1
2
π(
BC
2
)2=2π，
S3+S4=
1
2
π(
AC
2
)2=
9
8
π，
S2+S4+S△ABC=
1
2
π(
AB
2
)2=
25
8
π，
∴S1+S2+S3+S4=S2+S4+S△ABC，
∴S1+S3=S△ABC=6．
考点梳理
作图—复杂作图；勾股定理．
（1）作BC的中垂线交于BC于点E，以点E为圆心，BE为半径作半圆，作AC的中垂线交于AC于点F，以点F为圆心，AF为半径作半圆；
（2）由勾股定理知，以AB为直径的半圆的面积等于以BC为直径的半圆的面积与以AC为直径的半圆与以AC为直径的半圆的面积的和，建立方程，即可求得两个半圆中不与⊙O重叠的部分的面积和．
本题利用了中垂线的作法，和勾股定理，半圆的面积公式求解．
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