试题

（2011·鞍山一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹），判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，tanB=

3

4

，求⊙O的半径长．

解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：
作图如图所示，连接OD，
∵AD为角平分线，∴∠OAD=∠CAD，
又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴直线BC与⊙O相切；

（2）在Rt△ABC中，∵AC=3，tanB=

3

4

，
∴

AC

BC

=

3

4

，解得BC=4，由勾股定理，得AB=

AC2+BC2

=5，
设OA=OD=R，则OB=5-R，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴

OD

AC

=

OB

AB

，即

R

3

=

5-R

5

，
解得R=

15

8

，∴⊙O的半径为

15

8

．
解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：
作图如图所示，连接OD，
∵AD为角平分线，∴∠OAD=∠CAD，
又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴直线BC与⊙O相切；

（2）在Rt△ABC中，∵AC=3，tanB=

3

4

，
∴

AC

BC

=

3

4

，解得BC=4，由勾股定理，得AB=

AC2+BC2

=5，
设OA=OD=R，则OB=5-R，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴

OD

AC

=

OB

AB

，即

R

3

=

5-R

5

，
解得R=

15

8

，∴⊙O的半径为

15

8

．