试题

（2011·抚顺一模）如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°．
（1）根据下列语句作图并保留作图痕迹：作Rt△ABC的外接圆⊙O，过点A作⊙O的切线PA与AB的垂直平分线交于点P．
（2）连接PB，求证：PB是⊙O的切线；
（3）已知PA=AB=

3

，求线段PA、PB与弧AB围成的图形的面积．

（1）解：如图所示：

（2）证明：∵点P、O在AB垂直平分线上，
∴PA=PB，AO=BO，
∴∠PAB=∠PBA，
∠OAB=∠OBA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O切线；

（3）解：∵PA，PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵PA=AB=

3

，
∴PA=AB=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴r=1，∠AOB=60°，∠AOB=120°，
∴S_{四边形AOBP}=

1

2

×1×

3

×2=

3

，
S_扇形AOB=

1

3

π，
所求图形的面积为（

3

-

1

3

π）平方厘米．
（1）解：如图所示：

（2）证明：∵点P、O在AB垂直平分线上，
∴PA=PB，AO=BO，
∴∠PAB=∠PBA，
∠OAB=∠OBA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O切线；

（3）解：∵PA，PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵PA=AB=

3

，
∴PA=AB=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴r=1，∠AOB=60°，∠AOB=120°，
∴S_{四边形AOBP}=

1

2

×1×

3

×2=

3

，
S_扇形AOB=

1

3

π，
所求图形的面积为（

3

-

1

3

π）平方厘米．